domingo, 11 de marzo de 2012

INTRODUCCIÓN CONJUNTOS

CONJUNTOS

DEFINICION Y NOTACION DE UN CONJUNTO


DEFINICION
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.
La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.


Notación conjunto es una manera de decir cuál está en un conjunto. El conjunto se nombra generalmente con una mayúscula como esto:
A = {definición del conjunto}1
La definición del conjunto está dentro de las llaves: {}. Hay dos estilos de la definición del conjunto que pueden estar en llaves.
  • Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser definido enumerando todos los elementos:
    B = {libro, lápiz, borrador}2
    En esta definición, el conjunto B tiene tres elementos: libro, lápiz, y borrador.
  • Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. Mientras que esta regla puede simplemente ser una oración por ejemplo {El conjunto de toda la roca en mi jardín.}, los símbolos de la matemáticas se utilizan típicamente:
    C = { x | x  , x < 20 }3
    Conjunto C contiene todos los números naturales menos de 20.

REPRESENTACION DE CONJUNTOS


Por diagrama de Venn Euler

Entre llaves
  
 S = {a, e, i, o, u}


R = {1; 2; 3; 4}

Se escribe una coma (,)   o (;) para separar los 

elementos.








ENTRE LLAVES

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } 


                              B={ 10, 11, 12 }

 Diagrama de venn Euler :
Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de 

cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un 

círculo o un óvalo.

                    


DETERMINACION DE CONJUNTOS



 
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.


Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos
                        
A = { a, e, i, o, u }A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, , j, u, t, s }C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }E = { x/x es una consonante }



PERTENECE, NO PERTENECE


¿Pertenece o no pertenece?

I. Lee con atención.
     
La relación que se establece entre los elementos y
conjuntos es de PERTENENCIA.
     
     Notación:


  •  Si el elemento "pertenece" al conjuto: Î
  •  Si el elemento "no pertenece" al conjunto: Ï
Ejemplo : Observando los siguientes conjuntos.

P = {2; 4; 6; 8; 10}          Q = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}


Podemos afirmar:
  5ÏP            12ÎQ              14ÏQ                    
  6ΠP            8ΠP               8 Ï Q                        
      
Relación entre conjuntos

I.    Lee con atención:



 Decimos que el conjunto B es subconjunto del conjunto A, cuando todos los elementos de B son elementos de A. En ese caso B está incluido en A.


   La notación de un subconjunto es:
            
"Si es subconjunto": Ì   (Incluido)
          
"Si no es subconjunto": Ë (No incluido)
           
 Por ejemplo:  



                             B Ì A, se lee: "B está incluido en A"            
                     Ë B, se lee: "A no está incluido en B"



         PÌ B , se lee: "P  está incluido en B"      
           C Ë B, se lee: "C no está incluido en B"

      Recuerda:


  • La relación elemento-conjunto es: Î o Ï 
  •  La relación conjunto-conjunto es: Ì o 
  • De acuerdo a la definición de inclusión, pueden darse los siguientes casos:
  •  Inclusión del conjunto vacío: El conjunto vacío está incluído en todo conjunto.
  •  Inclusión estricta: Si existe algún elemento de B que no pertenece A.
  •  Inclusión doble: Si todos los elementos de B pertenecen a A. También se llama doble inclusión o igualdad de conjuntos.

UNIÓN DE CONJUNTOS


UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x  A o x  B}
En forma gráfica:
Observa la representación gráfica de la unión
  
 
Cuando no tienen  Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes  elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Observa los 3 ejemplos siguientes
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }efectuar y construir los diagramas respectivos:
a)A U C     b)B U C     c)A U B
Tenemos:
Observa el ejemplo a
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
      A U C = { 0, 1, 2, 3, 46, 8 }
     
      Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
Observa el ejemplo b
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
      B U C = { 0, 2, 45, 6, 8 }
     
      Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
Observa el ejemplo c
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
    A U B = { , 1, , 3, , 5 }
   
    Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO


INTERSECCIÓN DE CONJUNTO

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A  B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
 B = { x / x  A y x  B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
      
Cuando tienen   Cuando no tienen   Cuando todos los elementos de un
elementos comunes   elementos comunes   conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) C     b) C     c) B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
     C = {  }
   
    Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
     C = { }
   
    Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
     B = {  }
   
    Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B